بررسی ساختار حلقه های صادق در چند جمله ای های تعمیم یافته خاص

ارائه روش مناسب برای بررسی ساختار یک حلقه در جبر ناجابه جایی از اهم موضوعاتی است که محققان این رشته به آن پرداخته اند. ‎‎‏نتایج به دست آمده حاکی از این مطلب است که ‏اتحادهای دیفرانسیلی ابزار مفیدی در بررسی ساختار یک حلقه محسوب می شوند. از آن جمله با اعمال یک اتحاد دیفرانسیلی مناسب روی یک حلقه اول می توان به خاصیت جابه جایی روی حلقه دست یافت. در این رساله ‏ با استفاده ‏از روش های جبری‏، نکات زیر مورد بررسی قرار می گیرند. ‎(1) فرض‎ کنیم r‎‏ یک حلقه اول‏،m,n,k?1‎‏ عددهای ثابت صحیح، d یک‏ مشتق‏ و h‎‏ و ‎g ‎‎‏ مشتق های تعمیم یافته روی r باشند. بررسی اتحادهای دیفرانسیلی ذیل روی حلقه r‎‏ برای پی بردن به ساختمان حلقه و نیز ارائه شرایطی خاص بر روی مشتق های موجود در معادلات‏، در دستور کار ‏ اصلی این رساله قرار دارد. تعریف می کنیم‏، نگاشت جمعی ?:r?r به صورت همریختی تعمیم یافتهn -ام (همریختی جردن تعمیم یافته n -ام) روی r اثر می کند هرگاه برای هر x,y?r ،‎‎ ‎‏ ?(xy)^n=?(x)^n ?(y)^n (=?(x)^2n ?(x)^2n) .بر این اساس نخست‏، اتحادهای دیفرانسیلی ‎‏را در نظر می گیریم که مشتق موجود در آنها به صورت همریختی تعمیم یافتهn -ام (همریختی جردن تعمیم یافته n -ام) روی حلقه اول یا ایده ال های خاصی از آن اثر کنند.‎ با در نظر گرفتن اتحاد دیفرانسیلی=0 ‎‎‎?a [[d(x),x]_(n ) ,?[y,d(y)]?_m ]?^t روی حلقه، که در آن 0?a?r است ، شرط جابه جایی حلقه را به دست می آوریم. با بررسی اتحاد دیفرانسیلی (d[x^(m ) y,x]_k )^(n ) =[x^(m ) y,x]_k روی حلقه r می توان از شرط جابه جایی حلقه به عنوان یکی از نتایج به دست آمده نام برد. در تعمیم حالت (iii)، با جایگزین نمودن مشتق تعمیم یافته در اتحادهای مذکور ساختمانی خاص برای حلقه و مشتق تعمیم یافته موجود در اتحاد ارائه خواهیم کرد. با معرفی اتحادهای u^s h(u)u^t?z(r) و= 0 (u^s h(u)u^t )^n که در آنها s,t?0 اعداد صحیح و مثبت می باشند، روی ایده ال های لی غیر مرکزی از حلقه شرط جابه جایی حلقه و شرایطی خاص برای مشتق به دست می آوریم. بررسی اتحاد دیفرانسیلی h(u^2 )^n=g(u)^2nروی ایسده ال های لی غیر مرکزی از حلقه شرایطی خاص روی مشتق تعمیم یافته موجود ارائه خواهیم کرد. (2) در توسیع تعدادی از نتایج به دست آمده روی حلقه های اول شرایطی را مطالعه می کنیم که r یک حلقه نیم اول باشد.‎‎ (3) به عنوان تعمیمی دیگر از قضایای مطرح شده بر روی حلقه های اول‏، در بعضی از حالات به بررسی اتحادهای دیفرانسیلی شامل مشتق (مشتق تعمیم یافته) کران دار و طیفی کران دار روی جبرهای باناخ ناجابه جایی می پردازیم.